Ist doch logisch. Das "+" ist bei einem String einfach eine Anhängoperation. Du musst vorher den string in nen int verwandeln, dann addieren und dann kannste das wieder ausgeben.
String zahl1 = JOptionPane.showInputDialog("Wieviel bieten Sie: ");
int zahl2 = Integer.parseInt(zahl1); //hier vllt. noch checken bzgl. der "Zahl"
zahl2++;
//wenn man es genau machen will kann man hier noch
//String out = Integer.toString(zahl2); oder String out = String.valueOf(zahl2); machen. Dann statt zahl2 halt out ausgeben. Aber int sollte er eigentlich auch nehmen
JOptionPane.showMessageDialog(null,"Ich biete: " + zahl2 + " Also viel mehr!");