Akku tauschen würde ich ggf selber machen. Gibt da zu quasi jedem Handytyp Anleitungen und Youtube-Videos. Kommt dann ganz drauf an ob der verklebt ist oder nicht. Und ob Du Dir das zutraust natürlich.
Ansonsten reparieren lassen, 50€ Selbstbeteiligung klingt ganz ok, etwas mehr als ein Ersatzakku (vermutlich), aber weniger als Deine eigenen Mühen damit wert sind.
Ich würde das Gerät vorher sichern und zurücksetzen, so viel scheint es ja noch zu machen. Einfach weil es mir unwohl ist dass ein Reperaturtechniker Zugriff auf die ganzen Bilder usw haben könnte, auch wenn das technisch kaum möglich ist (wegen Geräteverschlüsselung usw).