Also löse ich erstmal über den Ansatz x = e^(l*t) und l^2 - 2l + 0.6 = 0 und bekomme l = 1 +- (0.4)^1/2. Damit habe ich zwei verschiedene reelle Lösungen für die quadratische Gleichung, so dass ich zwei Lösungen x1(t) = e^(t(1+(0.4)^1/2)) und x2(t) = e^(t(1-(0.4)^1/2)) für die DGL habe.
Dann zeige ich jetzt, dass x(t) = c1 * x1(t) + c2 * x2(t) ebenfalls eine Lösung der DGL ist bzw. zeige, dass x1(t)x2'(t) - x2(t)x1'(t) von 0 verschieden ist. Stichwort Wronski-Determinate.
Papoy!
Falsche Richtung
Es wird eine Algebrafrage gestellt, und du antwortest mit Analyseargumenten
Ehemaliger Civ4-Spieler
War aber so schön und die Wronski-Determinate passt auch.Zitat von Yuufo
Falsche Richtung
Es wird eine Algebrafrage gestellt, und du antwortest mit Analyseargumenten
Außerdem bin ich nur ein einfacher Informatiker, dem grad ein Crashkurs in Regeltechnik verpasst wird. Ich soll so Zeug eigentlich nur berechnen, verstehen ist erstmal zweitrangig.
Papoy!
Das denk ich mir auch immer wieder, wenn ich sehe, wie die bei uns unterrichten.
Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Differentialgleichung der Form
y'' + a(x)y' + b(x)y = c(x)
Das gibt es nichts zu beweisen, das ist so definiert, wobei a(x), b(x) und c(x) stetige Funktionen sind. Ist c(x) konstant 0, heißt die DGL homogen, wenn nicht heißt sie inhomogen.
Das ist sinnlos. Offensichtlich deckt sich die DGL mit der Definition einer linearen DGL zweiter Ordnung, da die Funktionen a(t) := konstant 2 und b(t) := konstant 0,6 stetig sind. Einzige Voraussetzung ist, daß 2w(t) stetig ist.Konkret habe ich zB folgende DGL:
x''(t) - 2x'(t) + 0.6x(t) = 2w(t)
Offensichtlich ist die ja linear. Wie setzte ich da jetzt mit einem Beweis an? Mir fehlt da irgendwie ein Ansatz.
In der Konsequenz kann ich also aus der Definition folgern, dass:
3y'' + xy = c(x) (Normierung durch Multiplikation mit 1/3 auf beiden Seiten; b(x) = x; a(x) = 0)
y'' + 2y² = c(x) (Man wähle b(x) = y, woraus 2b(x)y für das zweit Glied folgt; a(x) = 0)
y' + y + 1 = c(x) (1 auf beiden Seiten subtrahieren, Störglied dann als c(x) +1; 1. Ordnung ist ja analog definiert.)
Ebenfalls alle linear sind? Insbesondere bei der zweiten bin ich mir halt nicht sicher. Stetigkeit ist gegeben, da es sich um Interpolationsfunktionen für Messgrößen in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t handelt.
Man hat sowieso Spielraum, da die ursprünglichen Zusammenhänge nichtlinear sind und man sowieso nur approximiert, davon mal abgesehen, dass das Computer berechnet sein soll, d.h. wird sind sowieso in einem diskreten Zahlenraum. Es geht im Kern darum, dass Echtzeitcomputersysteme Regelkreisläufe überwachen und das wird jetzt mathematisch beschrieben. In der Realität muss sich eh einer erstmal hinsetzten und das numerisch gut beschreiben, bevor da irgendetwas hinhaut. Ist auch der einzige Punkt wo echt noch mit DGLs gerechnet wird, für alles weitere wird die Laplace Transformierte benutzt und am Ende Rücktransformiert. Macht die Geschichte deutlich einfacher.
Papoy!
In der stetigen Funktion b(x) darf nicht der Term y auftauchen, denn der wird ja gesucht. b(x) darf natürlich "zufällig" dieselbe Funktion sein wie y, aber wenn man das zur Voraussetzung macht, ist die DGL nicht mehr linear:
y'' + a(x)y' + y² = c(x).
Linearisierung von Problemen ist eine Standardübung der angewandten Mathematik und kann zu hervorragenden Ergebnissen führen.Man hat sowieso Spielraum, da die ursprünglichen Zusammenhänge nichtlinear sind und man sowieso nur approximiert, davon mal abgesehen, dass das Computer berechnet sein soll, d.h. wird sind sowieso in einem diskreten Zahlenraum.
Wo liegt denn jetzt eigentlich Dein Problem?Es geht im Kern darum, dass Echtzeitcomputersysteme Regelkreisläufe überwachen und das wird jetzt mathematisch beschrieben. In der Realität muss sich eh einer erstmal hinsetzten und das numerisch gut beschreiben, bevor da irgendetwas hinhaut. Ist auch der einzige Punkt wo echt noch mit DGLs gerechnet wird, für alles weitere wird die Laplace Transformierte benutzt und am Ende Rücktransformiert. Macht die Geschichte deutlich einfacher.
Dann hab ich es jetzt begriffen, glaube ich zumindestens.
Ich sag ja nicht, dass die Ergebnisse schlecht sind. Ich habe nur Spielraum, was meine Definitionen betrifft und kann die also entsprechend anpassen.
Mein Problem war wirklich nur, wie prüfe, ob eine DGL linear ist, weil es auf dem Übungsblatt gefragt war und ich nicht mehr wusste, wie ich das stichhaltig begründe. Das dient alles dazu Grundlagen aufzufrischen für den Rest der Vorlesung. Zu den DGLs gibt es keine spezielles Problem, aus dem die stammen.
Papoy!
Vielleicht habe ich das etwas blöd ausgedrückt; nach all den Jahren muß ich mich auch erst wieder einarbeiten. Der Punkt ist: Aus "y'' + a(x)y' + b(x)y = c(x)" wird erst durch eine feste Wahl der stetigen Funktionen a, b, und c eine Differentialgleichung. Vorher ist das nur ein allgemeines Kochrezept. Für a einfach y einzusetzen ist aber keine feste Wahl, weil y die gesuchte Unbekannte ist.
Zusammenfassend kann man einfach sagen, daß lineare DGLen nur aus den Ableitungen der Funktion verknüpft mit festen stetigen Funktionen durch Addition und Multiplikation aufgebaut sind. Das ist ganz genau so wie bei linearen Funktionen.
Echt? Kannste das Blatt mal einscannen?Mein Problem war wirklich nur, wie prüfe, ob eine DGL linear ist, weil es auf dem Übungsblatt gefragt war und ich nicht mehr wusste, wie ich das stichhaltig begründe.
Das ist die Aufgabe. Das ganze Blatt hochladen geht leider nicht. Urheberrecht und so. Die Gleichungen hatte ich ja im Prinzip schon gepostet.
Aufgabe 4 wäre noch die Stabilität von homogenen DGL 3. Ordnung zu beurteilen. Aber das läuft darauf hinaus das Verhalten der allgemeinen Lösung bei t gegen positiv unendlich zu beurteilen und dafür reicht es die Nullstellen des charakteristischen Polynoms numerisch vom Taschenrechner ausrechnen zu lassen.
Papoy!
Stabilität überprüfen ist ne dankbare Aufgabe
Alles trägt der Wind davon - Blätter, Ziegel und die Last der Gedanken.
(Sprichwort in Nehrasaxar)
aus "Die Spur des Seketi" von Gesa Helm
Einmal Fantasy-Geschnetzeltes mit geröstetem Ork an allem! (Dark Messiah Story - pausiert)
Stabilität von Differentialgleichungen? Was soll das denn schon wieder sein? Das muß eine Erfindung einer anderen Disziplin sein; eine Definition aus der Mathematik ist mir dafür nicht bekannt. Stabilität ist ein Begriff aus der Numerik, der die Toleranz eines Verfahrens gegenüber Störungen beschreibt.Aufgabe 4 wäre noch die Stabilität von homogenen DGL 3. Ordnung zu beurteilen.
Hmm?Ist übrigens Aufgabe 1 von 7 Ausgabe war Freitagabend und Besprechung ist heute Nachmittag. Ich bin echt froh, dass das unbenotet ist und es keinen Übungsschein gibt.
Stabilität ist Regeltechnik kommt also aus der Richtung E-Technik. Es geht darum, ob y innerhalb eines vorgegebenen Wertebereich bleibt oder halt abhaut.
Papoy!
Ich konnt's halt nicht glauben, daß da wirklich so eine ulkige Fragestellung steht.Hmm?
Ah, da geht es dann sicherlich um zeitliche Vorgänge und Systeme die durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Immer diese praktischen Anwendungen. Bäh.Stabilität ist Regeltechnik kommt also aus der Richtung E-Technik. Es geht darum, ob y innerhalb eines vorgegebenen Wertebereich bleibt oder halt abhaut.
Immer diese praktischen Anwendungen. Bäh.
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